贝叶斯借用与后验分析 Bayesian Borrowing and Posterior Analysis (Bayesian)

将预先规定的先验分布与当前试验似然结合，得到治疗效应后验分布、可信区间和决策概率。

统计原理

贝叶斯推断用 Bayes 定理把试验前信息与当前数据结合。对参数 $\theta$ ：

p(\theta\mid y)= \frac{p(y\mid\theta)\,p(\theta)} {\int p(y\mid\vartheta)p(\vartheta)\,d\vartheta} \propto p(y\mid\theta)p(\theta),

其中 $p(\theta)$ 是先验分布， $p(y\mid\theta)$ 是当前试验似然， $p(\theta\mid y)$ 是后验分布。后验均值/中位数用于点估计，95% credible interval 描述给定模型、先验与观测数据后参数落入区间的后验概率；它与频率学派 95% CI 的重复抽样解释不同。

随附二分类示例采用：

Y_a\sim\operatorname{Binomial}(n_a,p_a), \qquad \operatorname{logit}(p_a)=\alpha+\beta I(a=\text{Drug A}),

并对 $\alpha,\beta$ 使用均值 0、方差 100 的弱信息正态先验。程序监控 $p_1-p_0$ 、odds ratio，以及 $P(p_1-p_0>0\mid y)$ 和 $P(p_1-p_0>0.10\mid y)$ 。这只是弱信息后验分析示例，没有从外部对照借用信息；历史借用、层级模型或 robust mixture prior 必须另行预设来源、交换性假设、借用上限和冲突时降权规则。

先验与似然共同形成后验

后验分布同时反映既有信息和当前数据，并可直接计算参数落入目标区间的概率。

监管与实现依据：FDA 2026 年《Use of Bayesian Methodology in Clinical Trials of Drug and Biological Products》草案（草案，尚非最终实施指南）；FDA 医疗器械贝叶斯统计最终指南；SAS PROC MCMC 官方文档。

什么时候用

方案明确采用先验分布和后验决策规则，需要报告治疗效应的后验概率或可信区间时，使用贝叶斯分析。常见场景包括罕见病、儿科外推、设备试验、跨亚组信息共享、外部对照借用，以及由后验概率驱动的自适应决策。

SAP 里长这样：

A Bayesian logistic model will be used for the Week 24 response endpoint. The treatment effect will be summarized by the posterior distribution of the risk difference. Trial success will be declared if the posterior probability that the risk difference exceeds the prespecified clinically relevant threshold is at least 0.975. The prior distribution and all sensitivity priors are specified before database lock.

看到 prior distribution / posterior probability / credible interval / borrowing / robust mixture prior / PROC MCMC，即可定位到本页。若 SAP 只要求传统 p 值和 CI，不能事后把“后验概率高”作为新的成功标准。

适用条件速查卡

项	条件
估计目标	参数、效应方向、临床阈值和成功概率阈值均预先定义
先验透明度	分布族、超参数、信息来源、有效样本量及借用上限可追溯
可交换性	借用历史/外部数据时，核对人群、终点定义、标准治疗和时间趋势的可比性
似然与数据	分析集、终点、缺失规则及协变量模型与 estimand 一致
计算质量	收敛、混合、Monte Carlo 标准误、有效样本量及多链一致性合格
操作特征	若用于确证性决策，以模拟评价 I 类错误、功效、偏倚和借用冲突场景
敏感性	弱/强先验、冲突先验、不借用以及关键模型假设的敏感性分析预设

核心 SAS 代码

proc import datafile="example.csv"
            out=bayes_counts
            dbms=csv replace;
  guessingrows=max;
run;

ods graphics on;
proc mcmc data=bayes_counts
          outpost=posterior
          seed=20260821
          nbi=5000 nmc=40000 thin=5
          diag=(mcse ess)
          plots=trace
          monitor=(alpha beta p_control p_druga risk_diff odds_ratio);
  parms alpha 0 beta 0;
  prior alpha beta ~ normal(0, var=100);

  p=logistic(alpha + beta*arm);
  p_control=logistic(alpha);
  p_druga=logistic(alpha + beta);
  risk_diff=p_druga - p_control;
  odds_ratio=exp(beta);

  model responders ~ binomial(total, p);
run;
ods graphics off;

/* 2.5% and 97.5% limits are already printed in MCMC Posterior Intervals. */
proc means data=posterior n mean std p50 maxdec=4;
  var p_control p_druga risk_diff odds_ratio;
run;

data posterior_decision;
  set posterior;
  any_benefit=(risk_diff > 0);
  clinically_relevant=(risk_diff > 0.10);
run;

proc means data=posterior_decision mean maxdec=4;
  var any_benefit clinically_relevant;
run;

NBI= 是丢弃的 burn-in 迭代，NMC= 是 burn-in 后主循环迭代数，THIN= 控制保留间隔；这些设置不能替代诊断。
VAR=100 的先验在 log-odds 尺度上很宽，仅用于演示。正式方案应说明为什么该先验在临床效应尺度上合理。
MONITOR= 把治疗组/对照组率、率差和 OR 的后验样本写入 OUTPOST=，使决策概率可从同一条链复核。
两个 0/1 指示变量的样本均值分别是后验概率 $P(RD>0\mid y)$ 与 $P(RD>0.10\mid y)$ 。
正式分析应运行多个独立初值/随机种子链并汇总链间诊断；本下载程序用固定 seed 提供可重复的单链教学示例。

变量解释表

变量	含义	典型来源
ARM	`0=Control, 1=Drug A` 的分析组编码	汇总分析数据
RESPONDERS	各组满足预设应答定义的人数	二分类疗效终点派生
TOTAL	各组进入该分析的分母	分析集与缺失规则
ALPHA	对照组 log-odds 截距	`PROC MCMC` 参数
BETA	Drug A 相对 Control 的 log odds ratio	`PROC MCMC` 参数
P_CONTROL / P_DRUGA	两组应答率的后验样本	二级参数
RISK_DIFF	`P_DRUGA - P_CONTROL` 的后验样本	主要效应示例
ODDS_RATIO	`EXP(BETA)` 的后验样本	支持性效应量
ANY_BENEFIT	每个后验抽样中 `RISK_DIFF > 0` 的指示变量	后验决策派生
CLINICALLY_RELEVANT	每个后验抽样中 `RISK_DIFF > 0.10` 的指示变量	临床阈值决策派生

输出对照

随附程序已在 SAS 9.4 TS1M8 / SAS/STAT 15.3 上完成语法和运行验证；本页不固化 MCMC 数值，避免把模拟数据结果误当正式结论。正式抄数按以下字段闭环：

SAS 输出	编号	对应 shell / 决策
Posterior Summaries / RISK_DIFF Mean	①	后验平均率差
Posterior Intervals / RISK_DIFF Equal-Tail 或 HPD	②	预设类型的 95% credible interval
Posterior Summaries / ODDS_RATIO	③	支持性后验 OR
`PROC MEANS` / ANY_BENEFIT Mean	④	$P(RD>0\mid y)$
`PROC MEANS` / CLINICALLY_RELEVANT Mean	⑤	$P(RD>0.10\mid y)$
MCSE / ESS / Trace	⑥	Monte Carlo 误差、有效样本量与链混合 QC

Success/No success 必须把 ④ 或 ⑤ 与 SAP 预设阈值比较。不能在看到结果后改用 RD、OR、不同 credible interval 或不同后验概率阈值。

示例数据与程序

example.csv — 两组各 50 例的原创模拟二项汇总数据
example.sas — 贝叶斯 logistic 模型、后验样本、率差/OR、可信区间定位和决策概率程序

常见坑

把“弱先验”当作无先验：任何先验都会参与后验；应在临床效应尺度上解释其信息量并做敏感性分析。
外部数据不相容仍强行借用：终点、标准治疗或人群漂移会把偏倚正式写入后验；冲突降权与不借用分析必须预设。
把 95% credible interval 当频率学派 CI：两者条件化对象和概率解释不同，CSR 中必须使用正确术语。
只看迭代次数不看链：高自相关、低 ESS 或较大 MCSE 会使后验概率不稳定；正式分析还应核对多链一致性。
数据后选择成功阈值：临床阈值、后验概率阈值和主要效应量必须数据库锁定前写入方案。
不评估频率学派操作特征：用于监管确证性决策时，通常需要在零假设、备择和 prior-data conflict 场景下模拟 I 类错误、功效与偏倚。
把本页弱信息示例称为“历史借用”：本程序没有历史数据；真正借用需要额外模型、来源证明和稳健性设计。